1. Ce qu'on compte

Comme Claude Shannon en 1950, on appelle partie une suite d'actions légales, du début jusqu'à la fin. Deux parties sont différentes dès qu'une action diffère.

Une partie de Géomance commence par 64 poses de tuiles : à chaque pose, on choisit une case encore vide et un type de tuile encore disponible (16 Eau, 16 Feu, 16 Terre, 16 Air dans une réserve commune).

2. On compte exactement les constructions

Une construction, c'est deux informations indépendantes :

• l'ordre dans lequel les 64 cases sont couvertes : chaque case est couverte une et une seule fois, donc c'est une permutation des 64 cases. Il y en a 64! ;
• la suite des 64 types posés : chaque type est posé exactement 16 fois (pas plus, faute de stock, et pas moins puisqu'il faut 64 tuiles). Le nombre de telles suites est le coefficient multinomial 64! / (16!)⁴.

Réciproquement, n'importe quel ordre de cases et n'importe quelle suite de types (avec 16 de chaque) donnent une construction légale : au coup k, la case choisie est forcément encore vide, et le type choisi a forcément encore du stock, puisqu'il doit encore apparaître au moins une fois. Rien d'autre ne limite la construction. C'est une bijection, donc :

3. Toute partie se termine

Un compteur augmente à chaque action de combat sans capture (déplacement, échange ou Vortex) et revient à zéro à chaque capture. À 80, la partie s'arrête. Comme il y a au plus 16 Voyageurs à capturer et que la prise d'un Cœur termine la partie, le combat dure au plus 17 × 80 coups. Un joueur qui n'a plus d'action possible perd. Toute partie a donc une fin, en au plus 1 424 actions.

4. Conclusion

Chaque construction se prolonge en au moins une partie complète (point 3), et deux constructions différentes donnent deux parties différentes, puisqu'elles diffèrent dès les 64 premiers coups. Il y a donc au moins N parties de Géomance, et N > 10¹²⁰. ■

5. Vérifiable à la main

6. Vérifications faites par ton navigateur

• …Calcul en cours

7. Et avec le combat ?

La preuve ignore tout le combat. En le comptant avec la même méthode que Shannon (actions possibles par coup, puissance nombre de coups), on obtient une estimation beaucoup plus grande :

Le combat seul dépasse déjà les échecs. Avec la construction, cela fait environ 10³¹⁸ parties pour Géomance. Ce sont des ordres de grandeur mesurés sur des parties entre bots, pas une démonstration.

8. Ce que ça ne dit pas

Un très grand nombre de parties ne fait pas un bon jeu : lancer une pièce 400 fois donne aussi environ 10¹²⁰ suites possibles. La vraie mesure, c'est la partie elle-même.

Jouer une partie

1. What we count

Like Claude Shannon in 1950, we call a game a sequence of legal actions from start to finish. Two games differ as soon as one action differs.

A game of Géomance starts with 64 tile placements: each time, you choose an empty square and a tile type still available (16 Water, 16 Fire, 16 Earth, 16 Air in a shared pool).

2. Counting the boards exactly

A building phase is two independent pieces of information:

• the order in which the 64 squares are covered: each square is covered exactly once, so this is a permutation of the 64 squares. There are 64! of them;
• the sequence of the 64 tile types: each type is placed exactly 16 times (no more for lack of stock, no fewer since 64 tiles are needed). The number of such sequences is the multinomial coefficient 64! / (16!)⁴.

Conversely, any order of squares and any sequence of types (16 of each) give a legal building phase: at move k the chosen square is necessarily still empty, and the chosen type necessarily still has stock, since it must still appear at least once. Nothing else restricts building. It is a bijection, so:

3. Every game ends

A counter goes up with each battle action without a capture (move, swap or Vortex) and resets with every capture. At 80, the game stops. Since there are at most 16 Travellers to capture and taking a Heart ends the game, the battle lasts at most 17 × 80 moves. A player with no legal action loses. Every game therefore ends, in at most 1,424 actions.

4. Conclusion

Every building phase extends into at least one complete game (point 3), and two different building phases give two different games, since they differ within the first 64 moves. So there are at least N games of Géomance, and N > 10¹²⁰. ■

5. Checkable by hand

6. Checks run by your browser

• …Calculating

7. What about the battle?

The proof ignores the battle entirely. Counting it the way Shannon did (actions per move, to the power of the number of moves) gives a much larger estimate:

The battle alone already beats chess. With building, that makes about 10³¹⁸ games of Géomance. These are orders of magnitude measured on games between bots, not a proof.

8. What this doesn’t say

A huge number of games doesn’t make a good game: tossing a coin 400 times also gives about 10¹²⁰ possible sequences. The real measure is the game itself.

Play a game

1. ماذا نعدّ

كما فعل كلود شانون سنة 1950، نسمّي مباراة كل تتابع من الإجراءات القانونية من البداية إلى النهاية. تختلف مباراتان بمجرد اختلاف إجراء واحد.

تبدأ مباراة جيومانس بـوضع 64 بلاطة: في كل مرة تختار خانة فارغة ونوع بلاطة ما زال متوفرًا (16 ماء، 16 نار، 16 تراب، 16 هواء في مخزون مشترك).

2. نعدّ اللوحات بدقة

مرحلة البناء معلومتان مستقلتان:

• الترتيب الذي تُغطّى به الخانات الـ64: كل خانة تُغطّى مرة واحدة فقط، فهو تبديل للخانات الـ64. وعددها 64!؛
• تتابع أنواع البلاطات الـ64: يوضع كل نوع 16 مرة بالضبط (لا أكثر لنفاد المخزون، ولا أقل لأن اللوحة تحتاج 64 بلاطة). وعدد هذه التتابعات هو المعامل متعدد الحدود 64! / (16!)⁴.

وبالعكس، أي ترتيب للخانات وأي تتابع للأنواع (16 من كل نوع) يعطيان بناءً قانونيًا: عند الحركة k تكون الخانة المختارة فارغة حتمًا، ويبقى للنوع المختار مخزون حتمًا لأنه يجب أن يظهر مرة أخرى على الأقل. لا شيء آخر يقيّد البناء. إنه تقابل، إذن:

3. كل مباراة تنتهي

يزداد عدّاد مع كل إجراء قتالي دون أسر (تحريك أو تبديل أو دوّامة) ويعود إلى الصفر مع كل أسر. عند 80 تتوقف المباراة. وبما أن هناك 16 مسافرًا على الأكثر للأسر وأن أخذ القلب ينهي المباراة، فإن القتال يدوم 17 × 80 حركة على الأكثر. واللاعب الذي لا يملك إجراءً ممكنًا يخسر. إذن كل مباراة تنتهي، في 1 424 إجراءً على الأكثر.

4. الخلاصة

كل بناء يمتد إلى مباراة كاملة واحدة على الأقل (النقطة 3)، وبناءان مختلفان يعطيان مباراتين مختلفتين لأنهما يختلفان منذ الحركات الـ64 الأولى. إذن توجد على الأقل N مباراة من جيومانس، و N > 10¹²⁰. ■

5. يمكن التحقق يدويًا

6. تحققات أجراها متصفحك

• …جارٍ الحساب

7. وماذا عن القتال؟

البرهان يتجاهل القتال تمامًا. وبعدّه بطريقة شانون (الإجراءات الممكنة في كل حركة، مرفوعة إلى قوة عدد الحركات) نحصل على تقدير أكبر بكثير:

القتال وحده يتجاوز الشطرنج. ومع البناء، يصبح العدد نحو 10³¹⁸ مباراة. هذه رتب مقيسة على مباريات بين الروبوتات، وليست برهانًا.

8. ما لا يقوله هذا

العدد الهائل من المباريات لا يصنع لعبة جيدة: رمي قطعة نقدية 400 مرة يعطي أيضًا نحو 10¹²⁰ تتابعًا ممكنًا. المقياس الحقيقي هو اللعبة نفسها.

العب مباراة